En diversas situaciones, como en los problemas del Gimnasio Zeus y del terreno para el huerto, se necesita conocer el valor máximo o mínimo de una función cuadrática. Hemos observado que este valor es precisamente la ordenada, “y” del vértice de la parábola que constituye la gráfica de la función. Debido a lo anterior, es necesario encontrar procedimientos para obtener con exactitud las coordenadas del vértice de las parábolas con eje vertical.

 

 

 

Al realizar la siguiente actividad obtendremos interesantes resultados.

− Traza las gráficas de las funciones cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación, considerando como su dominio de definición el conjunto  de los números reales.

2 2

a) yxf) =3

= yx

b) yx²+2¹

= 2

g) y= x

3

c) yx²−3

=

h) yx

=− ²

d) yx+3

=( )² y) y x²+2

=−

e) y x(−2

=)²

2

j) yx( )+32

=+

Comparemos las gráficas de las funciones de los incisos b hasta j con la gráfica de

2

yx(inciso a).

=

x	= 2	y
	yx
-3	(-3)2 =	9
-2	(-2)2 =	4
-1	(-1)2 =	1
0	(0)2 =	0
1	(1)2 =	1
2	(2)2 =	4
3	(3)2 =	9

Tabla 9

35 La gráfica de y = x² es una parábola con las siguientes características:

a) Cóncava hacia arriba. b) Eje de simetría: el eje Y. c) Vértice en el origen.

=²

Ahora observemos la gráfica del inciso b que es: Gráfica de yx+ 2.

Gráfica 9

Esta gráfica es igual a la de yx, pero traslada 2 unidades hacia arriba.

=²

a) Su eje de simetría coincide con el eje Y. b) Es cóncava hacia arriba. c) Su vértice es el punto V ( 0, 2 ).

 

 

Realiza los siguientes ejercicios: A) Traza la gráfica de yx² -3, anota sus características y compáralas con

= la

de

yx.

=²

Generalización

=²de yx, pero una translación vertical c unidades hacia arriba, si c 0yc La gráfica de la función definida por yx+ c es una parábola igual a la gráfica

=² >unidades hacia abajo, si c < 0.

− Aplicando los resultados del párrafo anterior determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las parábolas determinadas por:

a ) yx= ²+ 6 =²

b) yx- 1/3 Intenta resolver este ejercicio sin dibujar las gráficas.

2

Gráfica de y x( 3)

=+

Gráfica 10

=²

Esta gráfica ha resultado igual a la de yx, pero trasladada 3 unidades a la

izquierda. − Es cóncava hacia arriba.

37

− Su eje de simetría es la recta paralela al eje “Y” tal que todos sus puntos tienen abscisa x=-3.

Ningún punto fuera de esa recta tiene abscisa igual a -3. Por lo anterior se dice que la ecuación del eje de simetría es x=-3.

− El vértice de la parábola esta en (-3, 0).

2

B) Traza la gráfica de y=( ). Compárala con la de =

x-2yx²y determina su concavidad, la ecuación de su eje de simetría y las coordenadas de su vértice.

Generalización

Del análisis de las dos últimas gráficas se concluye que la gráfica de la función definida por y=xk += ²

( )² es igual a la de yx, pero trasladada k unidades a la izquierda, si k es positivo; y k unidades a la derecha, si k es negativo. Entonces la parábola tiene las siguientes características:

a) Es cóncava hacia arriba. b) Su eje de simetría tienen por ecuación x=-k. c) Su vértice es el punto V(-k,0).

Sin trazar las gráficas, determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las parábolas siguientes: a) y = (x + 4)² b) y = (x − 5)² .

Compara las tablas 9 y 10. ¿Qué adviertes en relación con los valores de y?.

x	y = 3×2 = y
-3	3 (-3)2 = 27
-2	3 (-2)2 =12
-1	3 (-1)2 =3
0	3 (-0)2 =0
1	3 (-1)2 =3
2	3 (-2)2 =12
3	3 (-3)2 =27

Tabla 10

y = 3x²

Cada valor de “y” en la tabla 9 está multiplicado por 3 en la tabla 10. Esto produce un alargamiento o expansión de la gráfica de y = x² . La concavidad, el eje de simetría y el vértice no se alteran.

38

Gráfica 11

1 2

− Ahora traza la gráfica de y = x² . Analízala y compárala con la de y = x.

3

Generalización

Del análisis de las dos últimas gráficas se desprende que la gráfica de yax²

=

es la de y = x² expandida por el factor “a” si a<1 y contraída por el factor “a”, si 0<a<1.

La concavidad, el eje de simetría y las coordenadas del vértice no se alteran.

C) Determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las gráficas.

2

a) y = 5x² b) y = ²x

3

De las funciones yxy yx, nos damos cuenta que únicamente difieren en el

= ²=-²

signo; por lo cual su concavidad es distinta como se observa en la figura. 12 de las gráficas se concluye que el eje de simetría y el vértice no cambian de posición, pero la concavidad sí; ahora es hacia abajo.

39

Gráfica 12

D) Elabora la gráfica de y = -x² + 2. Analiza sus propiedades, en especial la concavidad.

¿Qué relación encuentras entre el signo del coeficiente de x²y la concavidad de las

parábolas que se han trazado?.

Generalización

El signo del coeficiente de x² en la función ya=x²bxc determina la

++

concavidad de su gráfica. Si a es positivo, la concavidad es hacia arriba, y si a es negativo, entonces la parábola es cóncava hacia abajo.

Durante el desarrollo de esta sección hemos estudiado varios casos particulares de gráficas de funciones cuadráticas y hemos llegado a formular generalizaciones que son meras conjeturas. La veracidad de estas generalizaciones se demostrará en cursos posteriores, ya que ahora no contamos con la herramienta matemática suficiente para hacerlo.

De acuerdo con los resultados que hemos obtenido es posible determinar ciertas características de las funciones cuadráticas a partir del análisis de su regla de correspondencia.

Ejemplo:

Obtener a) Las coordenadas del vértice. b) La ecuación del eje de simetría y determinar la concavidad de la parábola dada por:

y=(x−3)²−1

Solución

La gráfica de y=( )x-32-1 = 2 trasladada 3 unidades hacia la

es igual a la de yxderecha y una unidad hacia abajo. a) El vértice de la parábola cuya ecuación es yx2es el punto V (0, 0 ). Como a cada = uno de sus puntos, al vértice se le han aplicado los movimientos descritos, de manera que el vértice de la parábola representada por y=( )-32-1 x es V (3,-1). b) Todos los puntos del eje de la parábola tienen su abscisa igual a la del vértice, entonces la ecuación del eje de simetría es x=3. 2 c) La concavidad de la parábola depende del signo del coeficiente de x. Dado que en este caso es positivo, la concavidad es hacia arriba.       Realiza los siguientes ejercicios, considerando la información anterior. Ejemplo 1 − Determina las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la concavidad de la gráfica de las funciones dadas por: 42 2 1) fx= x− ) +5 2) ()=−2(x+5 ()( fx) −3 1 2 Comprueba tus respuestas trazando las gráficas de estas funciones. De los incisos anteriores se concluye que: La gráfica de la función fx=a(+ )2+k en donde a, h y k son números reales () xh cualesquiera, a=/0 es una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y, con vértice en el punto V= (-h, k ) y cuyo eje de simetría tiene la ecuación x=-h. El problema que ahora se nos presenta es ¿cómo obtener las coordenadas del vértice de la gráfica de una función cuadrática definida por una ecuación de la forma 2 = ++ yax bxc ?. Ejemplo 2 Determinar las coordenadas del vértice de la parábola cuya ecuación es: y= 2x+ x+ 24 3 24 3, pero que tenga la forma ya(xh + entonces el vértice será el punto V(-h,k). Si encontramos una ecuación equivalente a y= 2x+ x+ = )2+ k Tratemos de darle a y= 2x+ x+ la forma indicada. Separemos del segundo 24 24 3 miembro de la ecuación al binomio 2x+ x. Factorizando el binomio (caso del factor común) obtenemos: 22 2x + 4x = 2(x + 2x) Si agregamos al binomio que está dentro del paréntesis (x2+ 2x)el término adecuado, lo transformaremos en un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cuál es el término que tenemos necesitamos agregar?. El término 12, esto es, el coeficiente de x dividido entre 2 y elevado al cuadrado, completa el trinomio cuadrado perfecto. Entonces: x2+ 2 1 x+= (x+ 1)2 así que x+ 2x x = (+ 11 − ) y regresando a la expresión original 2(x+ 2x) ( x+ 11 = 2[ )−] 2(x2+ 2x) ( x+ 12 = 2)− 2 Entonces 2x+ 4 2 x − 2x= () + 1 2 2 Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación de la parábola: y= 2x+ x+ 24 3 obtenemos y= 2(x+ 1−+ )2 23 y= 2(x+ )2+ 11 La ecuación anterior tiene la forma deseada y, por lo tanto, las coordenadas del vértice son: x=-1; y=1. − Traza la gráfica de la función y= 2x+ x+ 24 3para comprobar que las coordenadas del vértice son: x=-1, y=1. 2 Apliquemos el proceso anterior a la ecuación yax +bx +c = donde a, b, y c son números reales cualesquiera, a=/0. Factorizando el binomio ax2+bx obtenemos: 2 2b ax +bx=a(x + x) a b Agregamos al binomio x2+x la mitad de b que es b y se leva al cuadrado. a a2a 2b b2 x+ x+ () a 2a Factorizando el trinomio cuadrado perfecto: bb b 2 22 x+ x+ () ( = x+ ) a 2a 2a Entonces: b bb2 x2+ xx + )2− = ( a 2a 4a2 43 2b Sustituyendo este resultado en ax(+x)obtenemos: a 2 b2 b =ax + )( − 2a 4a Entonces: 2 b2b2 ax +bx ( +− =ax ) 2a 4a Sustituyendo este resultado en ya=x2bxc obtenemos: ++ b b2 ya=(x+ )2-+c, 2a 4a 22 2 b -+b 4ac4ac-b Pero: -+= c =; 4a 4a4a b2 4ac-b2 Luego: Ya=(x+ )( + ) 2a 4a Por lo tanto Las coordenadas del vértice son: b 4ac −b2 x =− ;y = 2a 4a