Preparatoria Abierta

Matemáticas II

Fasc.1

CAPÍTULO 1. FUNCIÓN LINEAL

1.3 PROBLEMAS QUE CONDUCEN A UNA FUNCIÓN LINEAL

En este tema, haremos una integración de los dos anteriores, de tal manera que a partir de un problema concreto obtendremos su función lineal, la tabulación y la gráfica correspondiente.

Es muy importante que todos los problemas que integran este tema, los resuelvas previamente en tu cuaderno, y posteriormente compares tus procedimientos con los que te proponemos. Recuerda que si tienes dudas y no las puedes resolver con el contenido de este fascículo, puedes consultar otras bibliografías o a tu asesor. Observa cada uno de los problemas que a continuación se exponen a manera de ejemplo:

PROBLEMA

El precio de un radio es de $200.00 al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de $10.00.

a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en plazos de 1,2,3,4,5 ó 6 meses?

b) Tabula y construye la gráfica. c) Anota la expresión algebraica que determina la regla de correspondencia de la

función. RESULTADO a) Al comprarlo en abonos se tendrá que pagar:

A un mes 200 + 10 ( 1 ) = 210 dos meses 200 + 10 ( 2 ) = 220 tres meses 200 + 10 ( 3 ) = 230 cuatro meses 200 + 10 ( 4 ) = 240 cinco meses 200 + 10 ( 5 ) = 250 seis meses 200 + 10 ( 6 ) = 260

b ) Los datos anteriores nos dan la tabla y la gráfica siguiente:

x y = f (x)
0 200
1 210
2 220
3 230
4 240
5 250
6 260

Gráfica 17

c) Por lo tanto, la cantidad que debe pagarse en un plazo de x meses es: f (x) = 200 +10x

la cual es la expresión algebraica que determina esta función.

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PROBLEMA:

Patricia pide prestado a Inés $500.00 Inés le dice que le da seis meses de plazo para pagarle, cobrándole $10.00 de interés por cada mes. a) ¿Cuánto tendrá que pagar a Patricia si le paga a Inés el mismo día o en 1,2,3,4,5 ó 6

meses? b) Tabula y construye la gráfica. c) Encuentra la expresión algebraica que determine la función que describe al problema. SOLUCIÓN: a) Tendremos que designar una incógnita que represente el número de meses, que en

nuestro ejemplo será x. Entonces: Para cero meses, Patricia pagará $500.00 + 10(0) = $500. Para un mes, $500.00 + 10(1) = $510. Para dos meses, $500.00 + 10(2) = $520. Para tres meses, $500.00 + 10(3) = $530. ¿Cuánto deberá pagar los meses restantes del plazo?. b) Si tabulas los datos anteriores tendrás la siguiente tabla:

x y
0 500
1 510
2 520
3 530
4 540
5 550
6 560

41

Por lo tanto, la gráfica es:

Gráfica 18

c) Con base en la proposición del inciso a) podemos establecer la expresión solicitada, que es:

f (x) = 10x + 500

Te habrás dado cuenta que si damos valores a x (variable independiente) para encontrar los respectivos valores de y (variable dependiente) y además unimos los puntos en el plano cartesiano coordenado, éstos forman una recta que representa la gráfica de una función lineal cuyo modelo algebraico es:

y = ax cuando la recta cruza el origen

y = ax + b cuando la recta no cruza el origen

donde a y b son valores reales (IR) y a ≠ 0.

A partir de estas actividades, podrás aplicar tus conocimientos de la función lineal, a problemas concretos, relacionados con diversos fenómenos.

    1. El señor Ávila renta un auto en $50.00 diarios más $2.50 por kilómetro recorrido: a) Calcula el gasto que le produce recorrer en un día 40, 60, 90, 120, ó 160

    2. kilómetros, y tabula los resultados. b) ¿Cuál es la expresión algebraica de este problema?. c) Grafica la expresión algebraica.
    1. La compañía Delta obtuvo un préstamo por $15 000.00, pero el banco le cargará el 3% mensual de intereses: a) Calcula lo que la compañía deberá pagar en 0,1, 2, 3, 4 ó 5 meses, y tabula los resultados.

    2. b) ¿Cuál es la expresión algebraica de este problema?. c) Grafica los resultados.
  1. La señora Lulú va a hornear un pastel, pero la escala de su horno está en grados farenheit (°F) y su receta indica grados centígrados (°C), entonces le pide ayuda a su hijo y éste le dice: “Multiplica los grados centígrados por 9/5 y al resultado le sumas 32 y tendrás los grados farenheit”. Con este enunciado obtén lo siguiente:

a) Los grados farenheit cuando la señora Lulú utilice el horno en 100, 115, 135 y 145 grados centígrados, y tabula los datos.

b) La expresión algebraica del problema.

c) Los resultados mediante una gráfica.

4. En una prueba de tiempo durante una práctica de carreras de autos, uno de ellos registró los siguientes resultados:

En una hora recorrió 80 km; en dos horas, 160 km; en tres horas, 240 km; en cuatro horas, 320 km y en cinco horas, 400 km. La distancia que recorre el auto está en función del tiempo, por lo tanto:

a) Construye la gráfica del problema.

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que denota la distancia recorrida en función del tiempo?.

5. Como la circunferencia de un círculo está en función de π veces su diámetro, entonces a) ¿ Cuál es la circunferencia del círculo cuando el diámetro mide 1,2,3,4 o 5 metros?; tabula los resultados.

b) Encuentra la expresión algebraica del problema.

c) Construye la gráfica.

6. La estatura de un hombre se puede calcular, conociendo la medida del hueso húmero, la cual se multiplica por 2.89, y al resultado se le suma 70.64, entonces:

a) ¿Cuál es la estatura de un hombre cuyo hueso húmero mide 30, 33, 37 o 40 centímetros?; tabula los resultados.

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que da la estatura del hombre cuyo hueso húmero tiene x centímetros de largo?.

c) Construye la gráfica.

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Recuerda que los valores de la función lineal se pueden registrar mediante una tabla de valores. Esta asigna a cada valor “x” (variable independiente) un sólo valor a “y” (variable dependiente), es decir:

x y
x1 y1
x2 y2
. .
. .
. .
xn yn

Los valores de la función se obtienen a través de la regla de correspondencia:

f (x) =ax+b donde y= f(x)

donde “a” y “b” son numeros reales y = a ≠ 0.

El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de la tabla representan puntos en el plano cartesiano, los cuales determinan la gráfica de la función lineal al unirlos por medio de una línea recta; esto nos lleva a una conclusión importante:

La gráfica de la función lineal es una línea recta

 

 

 

 


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