Preparatoria Abierta

Matemáticas II

Fasc.1

CAPÍTULO 1. FUNCIÓN LINEAL

1.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Ahora pondremos especial atención en la representación geométrica de la función lineal. Ya en el curso de Matemáticas I graficaste algunas ecuaciones de primer grado cuando

resolviste sistemas de ecuaciones simultáneas a través del método gráfico, en seguida trataremos de relacionar esa experiencia con el concepto de función.

Los ejemplos analizados en páginas anteriores muestran que existen dos aspectos importantes de la función lineal; el primero de ellos es la expresión algebraica que la define y el segundo, la tabla de valores donde se registran los valores de las variables independiente (x) y dependiente (y). Esto nos conduce al análisis de un tercer aspecto: la gráfica de la función.

Para referirnos a la gráfica, es necesario recordar que cada valor del dominio le corresponde un sólo valor del rango; por lo tanto, cada pareja de la tabulación la podemos representar geométricamente como un punto (x,y) en el plano cartesiano. El ejemplo siguiente muestra lo que hemos dicho en este párrafo.

EJEMPLO:

Sea la tabla de valores de una función f: x

con D ={x/ ≤≤ 4, {()/oy }

ox } R= fx ≤≤ 8

x y
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8

Procedemos a graficar cada pareja en el plano cartesiano y observaremos algunas características importantes.

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Gráfica 6

Ahora es necesario encontrar la regla de correspondencia f que liga cada valor de x con su pareja y. Estamos seguros que podrás hacerlo. Para ello completa el diagrama que se ofrece a continuación.

Diagrama

Una vez que has encontrado la regla de correspondencia f:x y; y = 2x, ¿cómo hemos podido llegar a ella?. Regresemos al análisis de la gráfica.

Como puedes observar, los puntos que componen la gráfica se encuentran sobre una línea recta; esto es muy importante puesto que si quisiéramos encontrar otros puntos, sólo bastaría utilizar la expresión de la función:

y = 2x

aplicándole otros valores de x. Por ejemplo:

Si x = 7, entonces y =2 (7) = 14, lo que da como resultado la pareja ( 7, 14). Si x = -2, entonces y = 2(-2) = -4 que da la pareja (-2, -4). Compruébalo.

Lo que has visto hasta este momento es relevante y lo podemos resumir de la siguiente forma:

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Una función de la forma y =ax es geométricamente una línea recta que pasa por el

origen del plano. En el siguiente ejemplo tabularemos una función que no pasa por el origen.

Ejemplo:

Sea la función y = 3x-2, con D= { X / -3 ≤ X ≤ 3 } completa la tabulación de ésta y enseguida compara su gráfica con los elementos numéricos de la función.

Tabulación

x y = 3x-2 p(x,y)
-3 y = 3 (-3) -2 =-11 (-3, -11)
-2 y = 3 (-2) -2 = -8 (-2, -8)
-1
0
1
2
3

Parejas

(x, y) (-3, -11) (-2, -8)

Una vez completada la tabla, el rango de la función es de R ={ ()/ −11 ≤ y }fx ≤ 7

26

Ahora la gráfica de la función

y = 3x-2 es

Gráfica 7

Analicemos brevemente la gráfica de este ejemplo. Lo primero que destaca es que la recta no pasa por el origen, sino que lo hace por el punto (0.-2) ubicado sobre el eje vertical, ¿podrías explicar por qué?.

Si no pudiste explicarlo, no te preocupes, pues al final de este tema podrás hacerlo. Una vez presentada la función en la gráfica, su regla de correspondencia f por medio de un diagrama nos queda de la siguiente forma. Ahora te pedimos modificar la expresión de la función de la siguiente manera:

EJEMPLO:

sea y = 3x + 2 con D={x−≤ x }

/3 ≤ 3

Observa que en lugar de restar 2 a 3x, ahora lo sumamos. Completa la tabulación:

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Tabulación

x y = 3x+ 2 P(x,y)
-3 -2 -1 0 1 2 3 y = 3 (-3) + 2 =-7 y = 3 (-2) + 2 = -4 (-3,-7) (-2,-4)

Parejas

(x, y) (-3, -7) (-2, -4)

Una vez completada la tabulación el rango de la función es R { ()/ −7y ≤}= fx ≤ 11

Gráfica 8

28

Observa la diferencia entre las gráficas de las funciones Y=3X+2 (gráfica 8),Y=3X-2 (gráfica 7).

Probablemente concluyas que la gráfica sólo se movió hacia arriba del origen, ¿pero a qué se debió esto?. Quizá sea necesario hacer otra prueba para estar seguros de que el subir o bajar la gráfica depende de cambiar el número que no se multiplica a “X” en la expresión. Probemos con otra función,

EJEMPLO:

Y = 3X - 4 con D ={x −≤ x }

/3 ≤ 3

Tabulación

X Y = 3X - 4 P(X,Y)
-3 y = 3 (-3) -4 = -13 (-3, -13)
-2
-1
0
1
2
3

Parejas (x, y) (-3, -13)

29

Gráfica 9

Comparemos las tres gráficas y expliquemos nuestras observaciones. Las tres gráficas anteriores han resultado de evaluar las funciones: y = 3x-2; y = 3x + 2; y = 3x -4 y tal parece que forman una feliz familia de funciones, ¿no

te parece?. Algebraicamente, las tres tienen la forma genérica: y = ax + b, donde a y b son conocidos como: Constante y parámetro respectivamente. (Los parámetros son cantidades que tomando un valor real particular, permanecen constantes). Lo que podemos afirmar sobre las gráficas es que la constante a no cambia

en los tres casos, es decir: a = 3; mientras que el parámetro b tomó los valores: b = -2 (caso y =3x-2) b =+2 (caso y =3x+2) b = -4 (caso y = 3x-4)

Siguiendo con nuestro análisis, modifiquemos las funciones anteriores aplicando en cada caso x=0.

30

EJEMPLO:

Parejas y = 3x -2

y = 3 (0)-2 = -2

(0,-2)

y = 3x +2 y = 3 (0) +2 =2

(0, 2)

y = 3x -4 y = 3 (0)-4 = -4

(0, -4)

1. Los parámetros son cantidades que, tomando un valor real particular, permanecen constantes.

Las tres parejas que resultan son los puntos de cruce de la recta con el eje vertical; compruébalo en la gráfica. Esto ya lo hicimos al construir la tabulación de cada una de las funciones, verifícalo en éstas. Para ver con más claridad lo que hemos hecho, grafiquemos las funciones sobre un mismo plano cartesiano.

Gráfica 10

Lo que observaste al construir las gráficas anteriores lo podemos resumir de la siguiente manera, como otra conclusión importante:

Toda función lineal de la forma y = ax + b es una recta sobre el plano cartesiano y el punto de intersección de ésta con el eje vertical depende del valor que tome el parámetro b.

31

 

Con la finalidad de que practiques la construcción de la gráfica de la función lineal y analices sus características, realiza las siguientes actividades.

I. Grafica en tu cuaderno las siguientes funciones. Recuerda que debes partir de la tabulación correspondiente a cada función. Observa la familia que forman al variar el parámetro “b”.

  1. y = 2x + b para b = 0; b= -2; b = 4

  2. y = -3x + b para b= 0; b= -7; b= 3

  3. y = -x + b para b= -1; b = -2; b =4

  4. y = 0.5x + b para b =3; b= -4; b = 1/3

II. A partir de las gráficas que elaboraste, contesta lo siguiente:

  1. Si el parámetro b es positivo, ¿en qué parte del eje de las ordenadas (y) cruza la recta?.

  2. ¿Qué sucede si el parámetro b es negativo?.

  3. ¿Qué pasa si b = 0?.

  4. Si la constante “a” es positiva ¿hacia dónde se inclina la recta?.

  5. Si la constante “a” es negativa ¿hacia dónde se inclina la recta?.

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III. Identifica la función lineal correspondiente a cada una de las gráficas siguientes y escribe en el paréntesis el inciso correcto.

a) y = -ax + b

( )

b) y = ax + 2

12. Gráfica ( )

c) y = -ax + 6

d) y = ax + b

13. Gráfica ( )

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En la serie de ejercicios anteriores habrás observado que utilizamos fracciones decimales para el parámetro b, además que éste puede ser positivo, negativo o cero, lo cual da como resultado que la recta intersecte al origen, arriba o abajo de la constante.

En seguida procederemos al análisis de la constante a, puesto que esto aclarará las dudas que hayan surgido en el trabajo realizado hasta ahora.

En primer lugar, recuerda que en los ejemplos iniciales de este fascículo, se hizo referencia a cierta constante de proporcionalidad, y en este momento se requiere que interpretemos esa cantidad. Intentaremos hacerlo mediante un ejemplo.

EJEMPLO:

Gráfíca la función y = 2x + 1, con D ={x −≤ x }/2 ≤ 7 ; para ello completa la tabulación

siguiente:

x -2 -1 1 3 5 7
y -3 -1

Tomemos dos puntos cualesquiera de la gráfica, por ejemplo, A (1,3) y B (3,7). Con los trazos auxiliares formaremos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el segmento AB. ¿Cuál es la longitud del lado vertical?. ¿Cuál es la longitud del horizontal?.

Calcula el cociente que resulta de dividir: a= lado vertical/lado horizontal. ¿Cuál es el valor de a?.

Repite el proceso tomando otros pares de puntos, por ejemplo, (0,1) y (3,7) ó (-2, -3) y (5, 11). ¿Cuál es el valor de a para estos pares?. ¡Correcto!. Es el mismo que resultó para la primera pareja de puntos que tomamos. ¿Podrías contestar por qué ocurre de esta manera?.

Quizá pienses: ¡Qué extraños triángulos!, pero por muy pequeños o muy grandes que sean, todos conservan la misma razón a=2. Reflexiona un poco más y verás que otras rectas se comportan de igual manera. Te invitamos a que repitas el proceso para la función siguiente:

EJEMPLO:

34

Sea la función: y = 4x -6 Encuentra varias parejas de puntos para que determines la razón en cada caso.

Gráfica 15

Como podrás darte cuenta, también poseen la característica del ejemplo anterior, pues la razón es la misma en todos los casos. Ahora observa detenidamente cada una de las expresiones de las siguientes funciones:

y = 2x +1 y = 4x -6 y = -3x -2

aquí: a = 2 a = 4 a = -3

En esta etapa quizá pienses que la constante a de la expresión está relacionado con la inclinación de la recta; en efecto, así es, pero para comprobar esta idea deberás tomar una de las expresiones anteriores para graficarla variando la constante a, por ejemplo:

Sea y = 2x +1, la cual tiene la forma y = ax + b Grafiquemos para

a = 3; a = 5; a = -3.

¿Qué sucede con la inclinación de las rectas al cambiar la constante a?. Efectivamente, la inclinación de la recta respecto al eje positivo de las x varía con a. Esto conduce a otra conclusión importante acerca de la recta:

En toda función lineal cuya expresión sea y = ax + b, la inclinación de la recta asociada a ésta depende del valor de la constante a.

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Para concluir nuestro análisis de la función lineal, resolveremos el problema inverso que consiste en encontrar la expresión de la función a partir de su gráfica; veamos un ejemplo.

EJEMPLO:

Para la gráfica de la función lineal siguiente encuentra la expresión correspondiente:

y

Como puedes ver, la expresión de la función tendrá la forma:

y = ax -b

En primer lugar, colócate en donde la recta corta al eje vertical. ¿Cuál es la pareja (x,y) que le corresponde?. ¡Correcto!, es (0,-4), entonces el valor de la componente y equivale al parámetro b de la expresión de la función.

En seguida observa el otro punto de corte de la recta con el eje horizontal. ¿Cuál es ese punto?. ¡Exacto!, es (6,0). ¿Cuántas unidades recorres desde el punto (0,-4) hasta el origen?, ¿cuántas desde el origen hasta el punto (6,0)?. Este recorrido da como resultado la longitud de los lados del triángulo rectángulo BO y OA si aplicas la relación:

BO

a =

OA obtienes el valor de la constante a de la expresión de la función, es decir: 4

a = 6

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Si te das cuenta, hemos tomado la longitud BO como positiva. ¿Por qué debemos hacerlo así?. Aquí cabe hacer una aclaración que tiene que ver con el sentido del recorrido sobre los lados del triángulo rectángulo: si los desplazamientos son hacia arriba y a la derecha, como en el ejemplo, los consideramos como positivos. Esto nos lleva a completar una tabla de posibilidades como la siguiente:

desplazamiento hacia la derecha (positivo)

Para este ejemplo, el valor a también es positivo. ¿Puedes explicar por qué?. Ahora te corresponde explicar los demás casos:

  1. Desplazamiento hacia arriba y hacia la izquierda.

  2. Desplazamiento hacia abajo y hacia la derecha. ¿Qué signo tiene la constante a en cada caso?. Regresando al ejemplo que estamos resolviendo, ya estamos en condiciones de escribir

la expresión algebraica de la función: 4

Si: b = -4 y a =

6 entonces: 2

y = x − 4

3 será la expresión que se busca. Debes notar que 2/3 resultó de simplificar 4/6. Con lo anterior se puede concluir que la representación gráfica de una función lineal es

una línea recta.

 

La representación geométrica de la gráfica de una función, nos permite identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades, como las siguientes:

− Cuando la inclinación de la recta es hacia el eje positivo de las abscisas, la constante de proporcionalidad “a” es positiva.

− Cuando la inclinación de la recta es hacia el eje negativo de las abscisas, la constante de proporcionalidad “a” es negativa.

− Es posible obtener el valor de la constante de proporcionalidad “a” al trazar un

triángulo rectángulo y dividir la longitud del lado vertical entre la longitud del lado

horizontal.

− El punto que intersecta la recta al eje de las ordenadas corresponde al valor de “b”.

En el plano cartesiano un punto cualquiera es la representación geométrica de un par ordenado, y a cada par le corresponde un punto; por consiguiente, la función se puede definir como un conjunto de pares ordenados, los cuales se pueden representar geométricamente en el plano cartesiano para obtener su gráfica. Por ello, la gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, y la representación geométrica constituye la línea recta donde se visualiza el comportamiento de la función.

 

 

 

 

 


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