En el proceso de resolución de un problema que conduce a una función cuadrática podemos encontrarnos con ecuaciones cuadráticas.

Por ejemplo:

Si en el problema del inicio de capítulo que habla sobre el Gimnasio Zeus, se desea saber ¿para qué descuento en la cuota se obtiene el mismo ingreso que cuando no se rebaja ésta?, puede realizarse el procedimiento que sigue.

Cuando la cuota no disminuye, se obtiene un ingreso de 9 000 dólares; así que en

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y=-5x +150x+9000 hacemos y= 9 000, con lo que obtenemos la ecuación cuadrática con una incógnita:

9000 =−5x +150x +9000 Resolvamos esta ecuación: Sumando -9 000 a ambos miembros de la ecuación obtenemos:

0 =−5x +150x

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Por la propiedad simétrica de la igualdad: −5x² +150x =0 Factorizando el primer miembro de la ecuación (caso del factor común) obtenemos: 5x(-x+30)= 0 Reflexiona: ¿Para qué valores de los factores “a” y “b” es verdadera la igualdad a (b) = 0?. Para que el producto de 5x y-x+30 sea igual a cero, es necesario que 5x=0 ó -x+30=0. Resuelve la ecuación 5x=0 y obtendrás x=0 y al resolver la ecuación -x+30=0, encontrarás x=30; entonces, la ecuación tiene dos soluciones: x1=0 y x2=30. ¿Cómo interpretas este resultado en el problema que estamos estudiando?. Para un descuento de 30 dólares se obtiene el mismo ingreso que si no se hace

descuento alguno. Analicemos el procedimiento que se usó para resolver la ecuación -5+x² 150x=0. La ecuación anterior tiene la forma ax² +bx=0. Las ecuaciones de este tipo se

resuelven, como en el caso de la ecuación del problema, factorizando a su primer miembro:

xax ( +b)=0

La igualdad anterior implica que: x= 0 ó ax+b=0 b

Si ax+b = 0, entonces x =− .

a Si x= 0, entonces tenemos otra solución de la ecuación; ésta es precisamente x= 0. Resumiendo:

Cualquier ecuación cuadrática de la forma ax²+bx=0 tiene dos soluciones: b

x1 = 0 y x2= -.

a

No se recomienda memorizar las fórmulas anteriores es más conveniente seguir el proceso que emplea la factorización.

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:

a) 9x² −72x =0 b) 5x² =65x

Para reafirmar lo aprendido de este tema de “Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax²+bx=0. − Recuerda: − Para la ecuación que tiene la fórmula ax² +bx =0, se resuelve mediante el procedimiento por la factorización de factor común. − Cualquier ecuación cuadrática de la forma ax² +bx=0, tiene dos soluciones: b

x1 = 0 y x₂ =− .

a

Nota: No se recomienda que memorices las fórmulas que aparecen en este tema, es más conveniente seguir el proceso de factorización.