Preparatoria Abierta

MATEMÁTICAS I

CAPÍTULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES

1.1.4 LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)
Te has preguntado alguna vez: ¿cómo se expresa una deuda o una cuenta de cheques sobregirada?, ¿cómo se representa la temperatura cuando cae abajo de 0º?, ¿sabes qué tipo de números fueron tus respuestas?
Los números enteros. (Z)

///*tabla

¿Cuánto está sobregirada la cuenta?

///*tabla

A continuación utilizaremos nuevamente la regla de Gauss para calcular el valor de la suma de las series propuestas. ¿Cuánto sumarán los primeros veinticinco números enteros negativos? (Z) (-1) + (-2) + (-3) + (-4) + (- 5) + (-6) .... + (-23) + (-24) + (-25)
-26
-1 + (- 25) = -26
-2 + (- 24) = -26
-3 + (- 23) = -26 :
-12 + (- 14) = - 26
Por lo tanto: Como el (- 25) es un número impar es necesario sumarle al resultado que obtuvimos el número que queda sólo (sin pareja), en este caso el (- 13)
(- 26) (12) = (- 20 - 6) (10 + 2) (- 1) + (- 2) ...+ (- 24) + (-25)= >(- 26) (12) @ + (- 13) = - 200 - 60 - 40 - 12 = - 312 - 13 = - 312 = - 325
¿Cuánto sumarán los primeros cien números enteros negativos?
(- 1) + (- 2) + (- 3) + .... + (- 98) + (- 99) + (- 100)
-101
-1 + (- 100) = - 101
-2 + (- 99) = - 101
-3 + (- 98) = - 101
(- 101) (50) = - (100 + 1) (50)= - (5000 + 50)
Suma: = - 5050
¿Cuál es la suma de la siguiente serie? 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 + 0 + 4
En los ejemplos anteriores nuevamente se utilizó la herramienta del método gaussiano, pero ahora con unas series que incluyen números enteros negativos; por otra parte, el tercer ejemplo de esta serie se utilizó una propiedad que intuitivamente manejas desde la secundaria, se trata de la suma de número entero con el cero.
a + 0 = a
Es momento para recordar que este elemento cero lo conoces como elemento idéntico o neutro, para la suma
¿Cuál es la suma en la siguiente serie?
(- 5) + (- 1) + 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23
3 + 23 = 26
-5 + (-1) = - 6 7 + 19 = 26 (26) (3) = 78 11 + 15 = 26
? Suma: - 6 + 78 = 72
¿Cuál es la suma en la siguiente serie?
1 + (- 1) + 2 + (- 2) + 3 + (- 3) + 4 + (- 4) + 5
0 + 0 + 0 + 0 + 5 = 5
0 0 + 5 = 5
Para realizar la suma asociamos cada número positivo con su opuesto, lo que hace recordar que al sumar un número con su opuesto el resultado es: cero.
a + (- a) = 0
A este número opuesto se le llama inverso aditivo
¿Cuál es el resultado de la suma? 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1
0 1 0 1 0 Suma: 0
¿Cuál es la suma en la serie siguiente? 1 + 1 -1 + 1 -1 + 1

///*tabla

1 Suma: 1
En estos ejercicios podemos ver que al restar y sumar secuencialmente el número 1 obtenemos en el primer caso una suma igual a 0, mientras que en el segundo caso la suma es igual a 1, esto nos hace reflexionar acerca de esta situación; trata de explicar con tus propias palabras por qué es así.
Ya estudiaste uno de los sistemas numéricos más sencillos, el conjunto de los enteros junto con las operaciones de adición. Si realizamos la siguiente multiplicación, 4375 por 1 = 4375, vemos que el resultado es el mismo que el número propuesto (4375). ¿Habrá otro número que al multiplicarlo por otra cantidad dé la misma cantidad? La respuesta es no. Entonces el único número del conjunto de los naturales que al multiplicarlo con cualquier número de los naturales da como resultado otra vez el mismo número es el número 1, es decir:
1x a = a Neutro Multiplicativo
¿Crees que existe un número que al sumarlo con otra cantidad dé como resultado dicha cantidad?, es decir, ¿existe un número de tal modo que al realizar a + p = a para el conjunto dé los números naturales? La respuesta es no. Entonces, al conjunto de los números naturales está limitado para realizar operaciones aritméticas, por tal razón debemos aumentar al conjunto de los naturales y añadirle un nuevo número o elemento. Este elemento lo representamos por medio del cero (0) y se le llama identidad aditiva, el cual tiene la propiedad siguiente:
Neutro Aditivo o Idéntico
a + 0 = 0 + a = a y 0 + 0 = 0
El conjunto de los número enteros positivos se denota por Z+
Cuando tratamos de resolver la expresión x + 10 = 0 y abarcamos sólo el conjunto de los números enteros positivos no tenemos solución, pues aquí no existe el - 10, entonces es necesario ampliar el conjunto de los Z+ de forma que resulte un nuevo conjunto, que contenga a los números enteros positivos y a todos sus inversos aditivos (números enteros negativos), a este nuevo conjunto se le llamará genéricamente conjunto de los números enteros, denotado por Z y formado por ^...- 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...`. Por tanto, el conjunto de los números enteros abarca los siguientes números o elementos:
enteros positivos ( Z+): 1, 2, 3, ... también son naturalesZ

el número cero: 0 enteros negativos (Z-): .... - 3. - 2 - 1

Recuerda que el producto del número cero y cualquier otro número entero siempre es cero, por ejemplo:
4 x 0 = 0 x 4 = 0
Al generalizar tendremos que si a pertenece a los
Z, entonces 0 x a = 0
En este conjunto de los números enteros (Z) se define dos operaciones básicas la de la adición y la multiplicación con las propiedades de los números.
Al presentar el conjunto de los números enteros en la recta numérica retomamos un concepto importante como es el de sentido. Esto lo ilustramos con la recta numérica que tú conoces, en la cual se le asigna una posición con respecto al número cero (origen); a la izquierda del cero están todos los enteros negativos y a la derecha del cero, todos los enteros positivos. La siguiente gráfica ilustra el conjunto de los números enteros.

enteros negativos cero enteros positivos
En el servicio meteorológico dijeron que la temperatura más alta fue de 8º y la más baja fue de -8º, ¿por qué se dice que la temperatura promedio fue de 0º? ¿Qué relación hay entre el 8 y el -8?
Observa en la recta numérica que para cada número positivo existe uno negativo.
En la gráfica anterior es fácil observar que el simétrico de 4 es -4; como recordarás, a este simétrico se le llama inverso aditivo; por lo que decimos que cualquier número entero a, tiene su inverso aditivo que es un entero que está n unidades de otro lado del cero; sobre la recta numérica esto es el entero -a.
¿Cómo aplicarías el concepto de sentido para realizar operaciones?
Este concepto de sentido, hacia la izquierda del cero (negativo) o hacia la derecha del cero (positivo), lo podemos comprobar con la operación de la sustracción. Por ejemplo, al realizar 4 - 6 llegamos al resultado fácilmente, al utilizar la recta numérica de la siguiente forma: hacemos un movimiento hacia la derecha (sentido positivo) a partir del cero de cuatro unidades, seguido de otro movimiento de seis unidades hacia la izquierda (sentido negativo a partir del cuatro, el punto final es - 2, como se ilustra:
-4 -3 -2 -1 0 1 2 34
-6
¿Te resulta fácil entender el ejemplo anterior?. Si no fue así, ilustra sobre la recta numérica la siguiente operación - 5 - 2:
ADICIÓN DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
-8-7 -6 -5 -4 -3 -2-1 0 1
La operación la haces con un movimiento de 5 unidades a la izquierda del cero, seguido por 2 unidades más , a la izquierda. El resultado es -7; de ahí que - 5 - 2 = 7, entonces:
(- 5) + (- 2) = - (5 + 2) = - 7
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2-1 0 1 -2 -5
Con base en lo anterior, observarás que la operación de sustracción puede ser considerada como la opuesta de la adición, por tanto, cualquier problema de sustracción puede transformarse en un problema de adición, por ejemplo:
problemas de sustracción problemas equivalentes en la adición
4 - 2 11 - 5 - 5 - 3 3 - (-4) 4 + (- 2) 11 + (- 5) (- 5) + (- 3) 3 + 4
Resuelve los ejemplos anteriores y representándolos en la recta numérica. 37
Por tanto, definimos que, si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces:
a - b = a + (- b)
Veamos otro ejemplo para mostrar el procedimiento anterior: realiza la adición equivalente de 6-4 e ilústralo sobre la recta numérica:
-1 01 2 3 4 5 6 7 8
6- 4 = 6 + (- 4) = 2
6
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
El resultado que muestra la gráfica es 2.
Al retomar estos conceptos mencionaremos las reglas para la multiplicación de números enteros: a) El producto de dos enteros positivos es positivo. b) El producto de un entero positivo y un entero negativo es negativo. c) El producto de dos enteros negativos es positivo.
Propiedades de los Números Enteros
Adición Multiplicación
Cerradura: La adición de cualesquiera dos números enteros a y b es siempre un entero. Conmutatividad: Para cualesquiera dos enteros a y b; a + b = b + a. Asociatividad: Para cualesquiera tres enteros a, b y c; a + (b + c) = (a + b) + c. Identidad de la Adición. El número cero (0) es la identidad para la adición. a + 0 = 0 + a = a. Inverso aditivo: Todo número entero tiene un inverso aditivo, a + (- a) = 0 Cerradura: El producto de dos enteros a y b siempre es un entero. Conmutatividad: Para cualesquiera dos enteros a y b; a b = b a. Asociatividad: Para cualesquiera tres enteros a, b y c; a x (b x c) = (a x b) x c. Identidad de la Multiplicación: El número 1 es la identidad para la multiplicación; 1 x a = a x 1 = a. Distributividad: Para cualesquiera tres enteros; a, b y c; a x (b + c) = a x b + a x c y (a + b) x c = a x c + b x c.
En los ejemplos siguientes se muestran algunas propiedades de la multiplicación de números enteros.
¿Cuál es el valor de la suma?
(1 x 2) + (1 x 3) + (1 x 4) + (1 x 5) + (1 x 6) + (1 x 7 ) + (1 x 8) Solución: Al multiplicar el término común con cada uno de los sumandos tenemos:
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = >3(10) + 5@ por el método Gauss)
= >30 + 5@
= 35
¿Cuál es el valor de la suma?
(12 x 1) + (12 x 2) + (12 x 3) + (12 x 4) + ... + (12 x 19) + (12 x 20) = 12 + 24 + 36 + 48 + ... + 228 + 240 10(12 + 240) = 120 + 2400 (propiedad es distributiva)
= 2520
Analiza los siguientes ejemplos:
¿Cuál es el producto?
¿Observaste cuándo el producto sucesivo de números enteros es positivo? Ahora revisa éste:
¿Cuál es el producto?
(2) (5) (-3) (-4) (-2)
Producto - 240 ¿Observaste cuándo el producto de números enteros es negativo? ¿Cuál es el producto?
(0) (0) (0) (0) (0)Producto: 0

En los ejemplos anteriores observaste algunas características propias de la multiplicación de números enteros. Debes recordar las leyes de signos de la multiplicación que aprendiste en la secundaria; sí aún no te queda claro, fija tu atención en el número de factores con signo negativo y explica tus propias conclusiones.

 

 

 

 

 


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