Preparatoria Abierta

MATEMÁTICAS I

FASC.2

CAPÍTULO 2: LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.

2.1 PRODUCTOS NOTABLES.

2.1.5 EL BINOMIO DE NEWTON.

Para el desarrollo del binomio de Newton se pueden aplicar dos procedimientos, uno corresponde al llamado triángulo de Pascal y el otro a la propiamente denominada fórmula del binomio de Newton.

Primero haremos el cálculo de un binomio elevado a cualquier potencia mediante el triángulo de Pascal.

Como recordarás, hemos encontrado el producto notable de un binomio al cuadrado y el de un binomio al cubo mediante el modelo:

22 2

x  y x  2xy  y

32 23

 x 3x y  3xy xy3  y.

A fin de obtener el producto notable de un binomio a la cuarta potencia y llegar así al

4322 34

modelo x 4xy 6xy 4xy  y , uno de los caminos que podemos elegir es aplicar el producto notable de un binomio al cuadrado y la multiplicación de polinomios.

4 22 2 22 243 22 34

xy xy  x  2  y x  xy  y x  4  xy  4  y

  xy xy 2 xy 6xy .

Dada la laboriosidad involucrada en el desarrollo para binomios con exponente mayor a 3, presentamos aquí los siguientes productos notables que podrán calcularse por simple inspección.

5 54 3223 45

x  y x  5x y  10 x y  10 x y  5xy  y

6 65 42332456

x  y x  6x y  15 x y  20 x y  15 x y  6xy  y

7

76 52 43 3425 67

x  y x  7x y  21 x y  35 x y  35 x y  21 x y  7xy  y

8 87 625344352678

x  y x  8x y  28 x y  56 x y  70 x y  56 x y  28 x y  8xy  y.

Retomando las propiedades de las potencias, recordemos que:

1

x  y 1x  1y x  y

0

x  y 1

Si observamos la regularidad y simetría de los coeficientes del desarrollo de los binomios anteriores y los ordenamos en filas, podemos dibujar un triángulo llamado dePascal. Éste fue descubierto por el físico-matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Observando con atención, en este triángulo se puede descubrir que cada coeficiente se puede obtener sumando los dos que se encuentran arriba de este último.

Dibujemos la sección del triángulo de Pascal que corresponde a los productos notables que tienen exponente desde cero hasta tres.

1

x  y 1x  1y x  y

0

x  y 1

///*tabla

Ahora calculemos las dos siguientes filas que corresponden a los coeficientes de los binomios a la cuarta y quinta potencias.

1 1 1 1 2 1 1 + 3 + 3 + 1 1 + 4 + 6 + 4 + 1 1 5 10 10 5 1

De esta forma observa que construyendo el triángulo de Pascal podemos calcular los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia entera de un binomio, siempre que se conozcan los coeficientes que corresponden al desarrollo de la potencia inmediata anterior de un binomio.

Con respecto de la parte literal, volviendo a las potencias de los binomios presentados anteriormente, tenemos lo siguiente:

Para los exponentes de los términos del desarrollo se observa que el primer elemento del binomio su exponente va disminuyendo una unidad de cada término que se agrega al desarrollo, mientras que en el segundo elemento del binomio se reduce su exponente también en una unidad en la misma forma.

Ejemplo. Vamos a desarrollar los siguientes binomios aplicando el triángulo de Pascal:

443 22 34 4 32

1 3 x 1 3x 43 x 1 63 x 1 43 x 1 1 81x 108x 54x 12x 1

.

3 25 35 3421 3322 3223 3 24 25

22 4b a 52 b 102 b 102 b 5 2 a 4b 4b

. a 2 a 4 a 4 a 4

15122 94 66 38 10

32a 320a b 1280a b 2560a b 2560a b 1024b

Ahora observa como se construye la fórmula del binomio de Newton y como se aplica al cálculo de binomios elevados a determinadas potencias.

El procedimiento para desarrollar el producto notable de un binomio elevado a cualquier potencia entera n se deduce como una fórmula general, observando la variación de los coeficientes y exponentes de sus términos y el número de éstos.

xy 1

 0

 11x

xy1  y

2 21 22

1

 222 20 211

 xy  xy  xy

xy 1 1 ?

21

31 11 13 

3 33 33  2

32 

30 311  2 333

xy xy  xy  xy  xy

 1 ? 321 ??

1 21

x

x

x

n

n 1 n 2 1n  n 3 ???>nn 1

n nn nn 1 nn 2  @y

nn11 n22 n33

 x  xy  xy

xy  xy ???

1 21 321 • nn 1n  3 ???

2n  1

A este producto notable se le llama binomio de Newton, y fue desarrollado por el físico inglés Isaac Newton (1642-1727).

De acuerdo con este binomio se aprecia la obtención de cualquier término del desarrollo se encuentra con el siguiente procedimiento:

  1. El coeficiente del primer y último término del desarrollo del binomio es uno.
  2. El coeficiente de cualquier otro término se calcula multiplicando el exponente que tiene el primer elemento del binomio en el término anterior por su respectivo coeficiente y dividiendo el producto entre el número de términos anteriores.
  3. El exponente del primer elemento del binomio coincide con el del mismo binomio en el primer término del desarrollo, y a partir del segundo término se va reduciendo en una unidad en cada término que se agrega al desarrollo.
  4. El exponente del segundo elemento del binomio comienza con valor cero y se va incrementando en una unidad a partir del segundo término del desarrollo.

-Desarrollo del binomio de Newton empleando la fórmula general.

A partir del binomio de Newton, desarrollemos los siguientes binomios.

El primero de ellos lo obtendremos en varias fases para ilustrar la aplicación del procedimiento anterior.

83

15  n

. m

FASE 1: 5m 8n 15 m 

3 3

Primer término.

31

33 21

5  n 15 FASE 2: m8 m  5m 8n 

1 Segundo término

31 321

3321 2

FASE 3: 5m 8n 15  5m 8  m8

mn 5n

1 21

• Tercer término

31 321

3321 23

FASE 4: 5 8n 15  5m 8  5m 8n 18

m mn n

1 21

• Último término

3 6 1231

6

33 1

1 2 ••6

321

3321 23

5m 8n m 35 35 m n 18

15 n8

m8 n

32 23

125m 600m n 960mn 512n Conclusión del desarrollo.

¿Cuál procedimiento permite calcular más fácilmente potencias de binomios: el del triángulo de Pascal o el del binomio de Newton?

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

A fin de que practiques el desarrollo de los productos notables, multiplica los siguientes binomios utilizando la regla correspondiente. Una vez que los resuelvas, compara tus resultados con las respuestas que aquí aparecen.

BINOMIOS CON TERMINO COMÚN.

44

  1. x  3 x  5 6. a  8 a  1
  2. x  5 x  2 7. ab  5 ab  6
  3. n 19 n 10 8. a5  2 a5  7

§ 1·§ 3· 22

42x  2  . 9xy . ¨ ¸¨ x ¸ 9 xy  12

© 2¹© 2¹ 2 2 10. a  3 a  8 .

5. x 1 x  7 xx

RESPUESTAS:

2 84

  1. x 8x 15 6. a7a  8 2 22
  2. x 3x 10 7. ab  ab  30 2 105
  3. n 9n 190 8. a 5a 14 3 242

2 9. xy  3xy 108 44x  2

.x  4 2xx

10. a  5a  24 .

42

5. x  8x 7 BINOMIOS CONJUGADOS. RESPUESTAS:

22

11 ax x  a. 

.  11 ax

22

12 mn m n. 

.  12 mn

2

13. 3a 13 a 1 13. 1 9a

33

14. y 4y14. y  2y y  2y

62

2m 2n

15. x  y

m nm n

15. x  y x  y

CUADRADO DE UN BINOMIO RESPUESTAS:

16 ab

.  2 22

16. a 2ab b

2

17. 4m  2 17. 16m2 16m  4

2 22

18. 3x  2y 18. 9x 12 xy  4y

8 4482

4 4 19. x 2xy  y

19. x  y

2x2x1x1 2x2

20. x  2x y  y

x1x

20. x  y1 2 CUBO DE UN BINOMIO.

33

21. a  3 26. 14n

33 3

22. 4x  6 27. a 1

3 32

23. x  5y 28. 2m 3y

33

24. 2ax §9 282 ·



29. ¨ ab  ab ¸

3 ©23 ¹

25. mx ny

3

§2xy 2 ·

30. ¨5xy¸

© 15 ¹

RESPUESTAS:

32

21. a9a 27 a 27

32

22. 64x 288x 432 x 216

6422 3

23. x15xy 75x y 125y

32 23

24. 8a 12 a x 6ax  x

33 22 2233

25. mx 3m nx y 3mn xy ny

32

26. 64n 48n 12n 1

963

27. a 3a 3a 1

32 23

  1. 8m 36 m y 54 my 27 y 72936 45 5451263
  2. ab 16a b 96ab  ab

8 27 84

33 4353 63

30.xy  xy 10xy 125xy .

3375 15

BINOMIO DE NEWTON.

  1. 2  x 10 §12 · 7
  2. ¨ m  n ¸

©35 ¹ §ax2 · 6

33. ¨1¸

¨¸

© 4 ¹

932

34. 3x  y

RESPUESTAS:

2 3 4 5 678910

31 1024 5120  x 15360 13440 x 8064 3360 x 960  x 20 x

)  x 11520  x  x  x 180  x 1 14 28 56 112 224 448 128

76 52433425 6 7

32) m  mn  mn  mn  mn  mn  mn  n

2187 3645 2025 2025 3375 9375 46875 78125

612 510 48 24 2

ax 3ax 15ax 5 36 15ax 3ax

33)  ax  1

4096 512 256 16 16 2

27 242 214 185 15 8 1210 912 614 316 18

34 19683 ) x 59049 x y 78732 x y 61236 x y 30618 x y 10206 x y 2268 xy 324 x y 27 xy y.

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Por medio de los productos notables se obtuvieron los productos de los factores de la siguiente forma:

Para x 3 x 5 se obtuvo el producto x  2x

2 15

2 ·2 · 42

Para §¨y 6¸§¨y 6¸se obtuvo el producto y 36

©3 ¹©3 ¹9

§x 1· 221

Para ¨¸se obtuvo el producto xx



© 2¹4

332 23

Para x 2y se obtuvo el producto x 6xy 12 xy 8y

532

Para 2a 4b se obtuvo, a través del binomio de Newton:

15122 94 66 38 10

32a 320ab 1280ab 2560ab 2560ab 1024b

Y acordamos que éstos:

Corresponden a una regla general.

Nos permiten encontrar el producto de la multiplicación de dos binomios por simple inspección.

Son procedimientos más sencillos que los de multiplicación de polinomios.

En el siguiente tema: factorización; se analizará el procedimiento inverso, es decir dado el producto encontraremos los factores.

 

 

 

 

 


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